正準相関分析

正準相関分析は、多対多の分析の一種ですが、 A-A型や A-B型とは違います。

A-A型は、Aの中の要素同士の関係を調べる方法です。要素として変数を考えれば、変数の類似度の分析に使えますし、サンプルを考えれば、サンプルの類似度の分析として使えます。

A-B型は、Aの要素とBの要素の関係を調べます。

正準相関分析は、Aの要素とBの要素の関係を調べる方法ですが、AもBも変数なので、変数の類似度の分析として使う方法です。
関係性の行列表現

正準相関分析がすること

重回帰分析は、説明変数の線形和と、目的変数の相関が最大になるように、線形和の係数を求めます。

正準相関分析では、目的変数も複数あって、それらの線形和を想定します。そうして、目的変数の線形和と、説明変数の線形和の相関が最大になるように、これらの線形和の係数を求めます。

正準相関分析は、重回帰分析と主成分分析の両方の延長にあるような方法です。

重回帰分析の式を作ると、予測やシミュレーションに使うことができます。また、目的変数とそれぞれの説明変数の関係の強さもわかります。一方、正準相関分析のこういう使い方は、あまりないようです。

質的変数をダミー変換すると、ひとつの変数が複数の変数に分かれます。 A、Bという質的変数があった時に、これをダミー変換すると、上記のAB-C型になります。この形になったデータをAとBのそれぞれのグループに分かれた正準相関分析と考えると、コレスポンデンス分析（対応分析）と同じになります。

正準相関分析にはグループが３つ以上の場合のものもあり、「一般化正準相関分析」と呼ばれることがあります。グループが３つ以上の正準相関分析は、質的変数が３つ以上ある「多重対応分析」と呼ばれる方法になります。

グループが２つの正準相関分析は、「原因系と結果系」のように分けて使えます。筆者は、グループが３つ以上の正準相関分析があることは知っていたのですが、３つの時はそういう使い方にならないので。現実の問題での使い道はあまりなように思っていました。

一方で、質的変数が３つ以上ということは、よくあることです。そのため、その方向性だと、グループが３つ以上の正準相関分析も使い道があります。

部分的最小二乗回帰分析（PLS）は、正準相関分析で、片方のグループがひとつの変数だけの場合の方法と同じです。

Rによる正準相関分析のページがあります。

「図解でわかる多変量解析」涌井良幸・涌井貞美著　日本実業出版社　2001
正準相関分析が紹介されている数少ない本です。
重回帰分析、主成分分析、因子分析、正準相関分析、判別分析について、式の意味が絵も豊富に使いながら、丁寧に解説されています。

「多変量データ解析法　理論と応用」柳井晴夫著　朝倉書店　1994
正準相関分析という方法自体の歴史が解説されています。 1936年に始まって、1980年代でも発展が続いています。
正準相関分析とコレスポンデンス分析の関係が説明されています。