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固有値分析

A-A型 の行列は、固有値問題として解く方法は、 主成分分析 や AHP で使われています。

固有値や固有ベクトルが、行列の特徴を表すものになっていることを利用しています。

内積の順番と固有値

Dという行列と、t(D)というDの転置行列があったとします。

内積の仕方は、Dとt(D)の左右の関係で変わります。 上の例だと、t(D)が左の場合、列数と同じ３行３列の行列になります。 Dが左の場合、行数と同じ５行５列の行列になります。

内積した行列の固有値は、左右が違っていても、同じになります。 ５行５列の方の行列の方は、固有値が５個出て来ますが、２つは０なので、「同じ」となります。

この性質は、 非線形のための主成分分析 で使われています。

ソフト

Rによる固有値分析 のページがあります。

参考文献

「関係データ学習」　石黒勝彦・林浩平　著　講談社　2016
2章が固有値問題による対称行列のクラスタリング。 固有値解析を クラスター分析 の一種として説明しています。
主成分分析 や 多次元尺度構成法 では、固有値解析が多次元を低次元で見る方法として使われ、 クラスタリングは、見た結果として人が解釈することになるので、あいまいさも持たせた分析ができます。 この本の方法では、 k-means法 を使って、はっきりと分けることを目指しています。 また、 数量化�V類 のように、行列の行と列の位置を入れ替えて、行列の見た目でクラスタリングする方法も紹介されています。

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