連関係数を使った主成分分析

主成分分析では、相関係数の行列（相関行列）を固有値分析する方法になっています。

「相関係数の代わりに連関係数を使ったら、質的変数に対応できるのでは？」というのがこのページのアイディアです。

筆者の思い付きで作った手法です。先行研究があれば、筆者まで教えていただけると幸いです。

手順

主成分分析で、共分散行列あるいは相関行列を求める部分で、連関係数の行列を求めます。その後は、主成分分析と同じです。

まず、求めた行列の固有値を求めます。

求めた固有値が、それぞれの主成分の分散を表し、固有ベクトルが、主成分と元の変数の関係を表しているものとみなします。

相関係数は、正負の両方の値があります。連関係数は、正だけです。このため、連関係数行列を、相関係数行列の代わりにして、固有値分析をして主成分分析をすることの正当性が、よくわからないでいます。ただ、以下のように、もっともらしい結果になるので、間違ったことはしていない気はしています。

カーネル主成分分析では、相関行列を使う計算のところを、カーネル法というものに取り替えることで、様々な表現を可能にします。

相関係数の代わりに連関係数を使うアイディアは、それと似ています。

データは、上のようなものです。サンプル数は、約1000あります。 A、B、C、Dは、３水準系の直交表です。独立しています。

Eは、１行目が「E2」となっている以外は、並び方が、Dと、まったく同じになっています。

結果は、下になり、きれいにデータの構造がグラフになっています。