分散の比の検定 は、純粋に分散の数字の違いの有無だけを見るような手段になっているのですが、 一般にばらつきの違いを調べたい時は、数字の違いというより、ばらつき方の違いなので、この点が合っていません。 目的と手段が合っていないです。
具体的には、 分散の比の検定でできないこと があります。
標準偏差の比dと、o値の関係が下の図です。
o値Bだけは、サンプル数によって、結果が変わります。 ここでは、2つのグループのサンプル数をいずれも10にしています。
いずれも比が1に近ければ1に近く、比0に近ければ0に近いです。
o値Bだけは、比が1に近い時に、o値が1より大きな値になります。
分散の比の検定のo値Aは、「小さい方の分散は、大きい方の分散の何割か？」という発想で、寄与率に相当するものを求めることにしました。
= (S2 / S1)^2
ただし、s1 > s2
分布のズレ方を評価する検定では、平均値の差を評価しますが、ばらつきの違いを評価する検定では、分散の比を使うのが、従来からの考え方です。 例えば、「ばらつき（分散）が５倍ある」という言い方になります。
従来は、「効果量」という呼び方はしませんが、「ばらつきの違いの効果量は何か？」と改めて考えると、分散の比が良さそうです。
平均値の検定、平均値の差の検定、比率の差の検定は、検定統計量の構造が同じで、
平均値の差／（標準偏差／サンプル数nの平方根）
という形をしています。
分母は、
標準誤差
です。
従来からあるこれらの検定について、効果量は、
平均値の差／標準偏差
という形です。
この形にすると、
z検定
を応用できます。
分散の比の検定のo値Bも、このような作り方ができると良いのですが、 分散の比の検定 は、式の形が違うので、z検定が応用できません。
そこで、分散の比の検定を、 z検定 の形でやってしまう方法を考えました。 その方法については、 z検定による分散の比の検定 のページにまとめています。 そして、そこから、o値を求めるための検定を導き出すことにしました。
平均値の検定と、その効果量の検定（平均値の検定のo値B）とのアナロジーで考えると、分散の比の検定のo値Bは、下表になると考えました。
分散の比の検定のo値Bが、上の式で定式化できるとすれば、各種の評価指標のEXCEL関数は、 比率分布の差の効果量の検定 と同様にして、以下のようにして求まるはずです。
以下のEXCELの計算式では、以下のようになっています。
s1 ： 変数1の標準偏差
s2 ： 変数2の標準偏差
n1 ： 変数1のサンプル数
n2 ： 変数2のサンプル数
ただし、s1 > s2
任意のセルに、評価指標の計算式をコピーして、S1、S2、N1、N2のセルにこれらの数字を書いておくのが、一番簡単な使い方です。
NORMDIST関数の第１引数は、検定統計量です。 第２引数は、差がない事を基準にするので０です。 第３引数は、標準偏差です。
=(1 - NORMDIST( ( (s1/s2)^2 - n2 / (n2-2) ) / SQRT( (2 * n2^2 *(n1+n2-2) ) / ( (n2-2)^2 * (n2-4) ) ) , 0 , 1 ,TRUE)) *2
o値の計算の検定統計量の部分を、信頼区間の下限に変更します。
=(1 - NORMDIST( ( (s1/s2)^2 - 1.96*(SQRT( (2 * n2^2 *(n1+n2-2) ) / (n1 * (n2-2)^2 * (n2-4) ) )) - n2 / (n2-2) ) / SQRT( (2 * n2^2 *(n1+n2-2) ) / ( (n2-2)^2 * (n2-4) ) ) , 0 , 1 ,TRUE)) *2
分散の比の検定のo値は、下のグラフの赤い部分です。
２つの分布が重なっている部分の面積になります。
計算すると、下のグラフになります。
グラフの横軸は、２つの分布の標準偏差の比です。
２つの標準偏差が違うほど、小さな値になっています。
良く見る部分を拡大すると、下のグラフになります。
このp値は、一般的な検定のように、0.05を目安にするものではないです。 例えば、横軸が3の時に、o値は0.5くらいになりますが、「0.5(50％)もずれているから、２つのばらつきは違う、と考えられる」といった使い方になります。
２つの分布が重なっている部分の面積ですが、まずは、確率密度関数の曲線の交点xを求めます。
確率密度関数の式に代入すると、下の式になります。
これを整理するとxの式が求まります。
A2、B2というセルに２つの標準偏差が入力されている場合、EXCELでこのxを求める関数は、下記になります。
=-SQRT(2*B2^2*A2^2/(B2^2-A2^2)*LN(B2/A2))
上記のxを求める関数がD2というセルに書かれている場合、EXCELでo値を求める関数は、下記になります。
=2*(0.5-NORMDIST(D2,0,MAX(A2:B2),TRUE)+NORMDIST(D2,0,MIN(A2:B2),TRUE))
ここで、最初の「2*」という部分は、左側半分の面積だけを求めた式を２倍することを表しています。 「0.5」というのは、正規分布の左側半分の面積は、0.5なことを表しています。 MAX、MINというのは、２つの標準偏差の大小関係を間違えると、この式でp値が求まらないので使っています。 この関数だと、標準偏差がまったく同じ場合は、エラーになります。
順路
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