高次元を２次元に圧縮する方法

高次元を２次元に圧縮して可視化する方法は、ただの圧縮ではなく、「２次元に圧縮」という点が特徴です。

変数の類似度の分析の場合は、調べたいものが変数の類似度なので、例えば、４次元に圧縮されれば、「このデータは４種類の変数を特徴にしている」ということがわかることで、次のアクションにつながります。

サンプルの類似度の分析の場合、４次元データから、サンプルの類似度を考察しようとすると、変数同士の組合せから総合的に考えることになり、自分は理解できても、自分以外の人と理解の共有が難しいです。

そのため、サンプルの類似度の分析では、２次元まで圧縮することが重要になります。

主成分分析

次元圧縮の方法としては、主成分分析が有名ですが、主成分分析は、「２次元に圧縮」というようにアルゴリズムがなっていないです。３次元よりも多い時もあります。

ただし、元のデータの特徴が１種類や２種類なら、結果的に、１次元や２次元に圧縮できることはあります。

距離行列による次元圧縮では、工夫することで、２次元に圧縮します。

多次元尺度構成法や、tSNE、UMAPでは、「近くのサンプルが近くに配置できていれば良い。」と考えることで、ただの次元圧縮だと、３次元以上になるデータでも、２次元まで圧縮できるようにしています。

立方体のひとつの頂点からは、３つの方向に同じ距離の頂点があります。これらの頂点の位置関係は、３次元で表されます。

ここで、「同じ距離」という事だけで考えれば、３つの頂点は同等です。

そこで、同じ距離という事だけがわかれば良いのなら、１次元や、２次元でもこの関係は表現できます。高次元データのネットワーク分析では、このようなアイディアで、高次元データを２次元グラフにすることを可能にしています。

データの中に、「目的変数と説明変数」、「原因系と結果系」という区別が最初からある場合、この情報を元にします。ゴールにする２次元は、「目的変数と説明変数」や「原因系と結果系」が、それぞれ１次元ずつに圧縮されることを目指します。