分散比とp値とサンプル数の関係

ばらつきの違いの検定の一番ポピュラーなのは、分散の比の検定（F検定）です。

「２つの平均値に違いがあるか？」ということを調べたい時は、平均値の差の検定にあるように「差（引き算の値）」を調べるのですが、「２つの分散に違いがあるか？」ということを調べたい時は、「比（割り算の値）」を調べます。例えば、グループ1の分散が、1で、グループ２の分散が３の場合、比は３になります。

variance and p-value
このグラフは、横軸が分散比、縦軸がF検定のp値で、サンプル数が３種類分あります。「n=5」というのは、２つのグループのそれぞれのサンプル数が５であることを示しています。

曲線の見方ですが、まず、真ん中の分散比１のところに、頂点があり、縦軸の値は１です。これは、分散比１が一番起きやすいことを表しています。

n=5の分散比が10あたりは、p値が0.05です。一般的なp値の目安が0.05なので、分散比が10以上あると「２つのグループの分散は違う」と考えられるということを意味します。

例えば、「分散が5倍」と聞くと、すごい違いのように聞こえますが、それくらいでは「２つのグループの分散は違う」とは考えにくいという事も意味しています。

サンプル数nが多いと、p値は限りなく小さくなる性質があるのは、平均値の差の検定と同じです。

サンプル数nが多いと、分散比の大きさに関わらず、p値がとても小さな値になって、知りたいことがわからなくなります。

曲線の作り方

n=5の場合は、正規分布になるサンプルを５個ずつ、２セット作ります。このデータは、「=norminv(rand(),0,1)」というEXCELの関数で求めています。ひとつのセルごとに、平均値が０、標準偏差が１に従う正規分布からランダムにサンプリングされた値が計算されます。

それぞれのセットについて、分散を計算してから割り算をして、分散比を求めます。この値が横軸になります。

また、２つのセットの分散の比の検定をして、p値を求めます。この値が縦軸になります。

このデータを10000通り作ります。つまり、10000個の分散比とp値を求めます。

分散比がかなりばらついていますが、上記の方法で、10000個の分散比を作ると、このくらいばらつくのは、筆者自身もやってみて、初めて知りました。

n=30やn=100についても同様に作ります。あとは、グラフにするだけです。

分散は、現実には使わない単位になるので、実務のデータ分析では、ばらつきの尺度は標準偏差を使うことが多いです。

その時の目安になるように、上記の図と同様にして、標準偏差比とp値とサンプル数の関係のグラフを作ると下図になります。
variance and p-value

n=5だと、相当違わないと違いを判断できない点や、nが大きいと、p値が限りなく小さくなる点は分散と同じです。

このページは、p値だけの話です。分散や標準偏差のばらつきについて、信頼区間の観点では、誤差とn数に説明があります。具体的な統計量の分布の観点では、不偏分散に説明があります。