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対応のある検定（対応のある平均値の差の検定）

平均値の差の検定が典型的ですが、一般に「対応あり」と書いていない検定の方法は、データの対応を使わない方法です。検定の方法には、対応を使わない方法が多いです。例えば、学校ごとにテストの平均点を計算して、その平均点の差を調べたい場合は、対応は気にしません。

「対応がある場合」というのは、例えば、同じ学校の生徒の国語と数学の点数について、「個人毎の国語と数学の点数の差は、どのくらいあるのか？」、といった調査です。国語と数学の点数について、「個人」で対応があります。

他には、 2つの測定器を比較したい場合や、2つの実験条件を比較したい場合に、ペアになっているデータがある場合も当てはまります。

対応のある検定の威力

対応のある場合の2つの平均値の差の検定
上の図は、AとBという２つのグループがあって、データが３つずつあります。

グラフを見る限り、「Bの方が平均値が高い」というのは、とても考えにくいです。平均値の差の検定をすると、P値が0.38になります。普通、こういうデータの場合は、「Bの方が平均値が高いとは言えません。」という結論になります。

ところが、実は、上のデータは、同じ人について、AとBの条件で測ったデータで、それが３人分あったとします。つまり、対応関係があったとします。そして、対応関係をグラフに書き込むと、下の図のようになっているとします。
対応のある場合の2つの平均値の差の検定

この場合に、対応のある平均値の差の検定を使うと、P値が0.03となり、とても小さいので、「Bの方が平均値が高いとは言える。」という結論として、進められるようになります。

対応のある検定の仕組み

対応付けたグラフを見ると、個々のサンプルについては、Bの方が少し高いように見えます。対応のある検定は、この特徴を調べる方法になっています。

もしも、「Bの方が高い」ということが事実なら、「B-A」は、どれも０よりも大きくなるはずです。対応のある検定では、これを調べます。

まず、BとAの差（B-A）を計算します。
対応のある場合の2つの平均値の差の検定

一般的な対応のある検定では、平均値の検定を使って調べます。以下、このページで「対応のある検定」と呼んでいるのは、平均値の検定を使う場合です。

平均値の検定を使う場合は、「B-Aの平均値は、０よりも高いと言えるのか？」ということを調べようとします。

対応のある検定の注意点

対応のある検定は、注意点があります。ただし、注意点であって、弱点や欠点ではないです。

また、自分のやりたいことが、「対応のあるデータについて、片方のグループの方が平均値が高いと言えるのかを調べる」であるのなら、大した注意点ではないです。

一方、「対応のあるデータについて、片方のグループの方が全体的に高いと言えるのかを調べる」、という目的で、この検定を使う場合は、重要な注意点です。この目的に対して、この検定を使うと、事実とは反対の結論を導き出すこともあり、検証したいことの検証にならないので、重要です。

筆者の経験の範囲ですが、実務のデータ分析で、「平均値が高いと言えるのか」というケースはなく、「全体的に高いと言えるのか」というケースが普通です。「全体的に高いと言えるのか」を調べたいのですが、他に良さそうなものがないので、「平均値が高いと言えるのか」を採用しています。（この状況を変えたくて考案したのが、分布のズレの検定です。）