トレンド修正付きボラティリティ推定モデル

ボラティリティ推定モデルのページでは、文献で見かけるボラティリティの推定方法と、その改良版としての EWMAモデルを説明しています。

先行研究で、すでに指摘されているかもしれませんが、ボラティリティ推定モデルのページの方法では、「トレンドに対応していない」という不備があります。

車輪の再発明かもしれませんが、筆者が独自に修正方法を考えたので、このページで説明します。

タイトルに「トレンド修正付きボラティリティ推定モデル」とありますが、具体的な名前は、「TEWMAモデル」です。「EWMA」に、トレンド（Trend）のTを付けました。

「トレンドに対応していない」という不備

以下のような、A、B、Cの３つのパターンを例にします。価格変動をイメージした例です。 A、B、Cは、1～200番目と、401～600番目のデータがまったく同じです。 Aについて、201～400番目のデータを加工して、BとCを作っています。

AとBの201～400番目は、振れ幅が違うように見えます。 Cは、201～400番目のトレンドが強いので、AやBとは見た目が大きく異なりますが、1～200番目と、401～600番目のデータは同じです。
ボラティリティ推定モデル

上のデータについて、前後のデータの差を計算すると、ボラティリティ推定モデルのeになります。

eを見ると、Bの201～400番目は、ばらつきが２倍くらいになっていることがわかります。 Cの201～400番目は、ばらつきは変化していないようですが、０を中心としたばらつきではなく、上側に偏っています。上側に偏ることが、トレンドとして表れていることもわかります。
ボラティリティ推定モデル

上のデータについて、ボラティリティ推定モデルで、ボラティリティσを計算すると、以下になります。

Aは、σが約1000で一定らしいことがわかります。 BとCは、「1000　→　2000　→　1000」と変化していることがわかります。つまり、BとCの違いが、ボラティリティではわからなくなっています。

「ボラティリティはばらつき」と考えるのが普通なので、Bの計算結果は正しいです。 Cの計算は、計算方法に不備があることがわかります。

このページでは、Cの場合も正しく計算できる方法を説明します。

ボラティリティの推定では、eをそのままではなく、eの2乗を使います。

そのため、例えば、０を中心にして、ばらついている場合と、その時のマイナス側のデータを全部プラスに変換した場合では、ボラティリティが同じになります。

そのため、BとCのような違いがあったとしても、ボラティリティの値が似てくることが起きます。

トレンドがあると、eの中心が０ではなくなるのですが、上の計算では、その点が考慮されていません。

中心の位置が考慮できていないことが原因なので、考慮するように式を作ります。

EWMAとTEWMAを比較すると以下のようになります。
TEWMA

EWMAのeのところを、中心値の推定値を引くことで、TEWMAでは修正しています。

中心値の推定値の計算は、この例と異なっても良いのですが、EWMAが指数平滑法なので、ここでは平均値の推定も指数平滑法にしています。

指数平滑法以外としては、近似曲線なので、中心値を推定することもできます。

TEWMAで計算すると、以下のようになります。 Cは対策ができています。トレンドがないAとBがEWMAとあまり変わらないのは、狙い通りです。
TEWMA

TEWMAモデルもEWMAと同様に、EXCELで簡単に扱えます。

Excelでボラティリティ推定モデルで、具体的な手順を説明しています。

TEWMAモデルは、母平均と母分散が変化していることを仮定して、それらをデータから推定するための推定モデルです。

このデータができることを説明している発生モデルは、母数変動型ランダムウォークモデルになります。