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ばらつきモデル

モデル式
という式なら、Xの値が変わったら、Yがどのような値になるのかを シミュレーション するのは、簡単です。

この式のXに、0から2までを0.1刻みで代入すると、下図のような結果になります。
代入した値

しかし、現実のデータは、下図のようになっている事が多いです。 だいたいこの式になっていても、 誤差があるので、Yは多少ばらつきます。
代入した値

統計学 は、このばらつきを扱うのに優れていて、ばらつきの部分を表現するのに、
モデル式
のようにして、「E」という部分を足します。 「E」は、Error(エラー:誤差)のことです。 構造方程式 では、Eを意識して扱います。

では、「Eのある式は、どうやってシミュレーションするのか?」、というのが、このページのお話になります。

統計モデル風の数理モデル

統計モデル では、数式の中にEが書かれていることがありますが、象徴的です。 実際に計算して求めるのは、Eの入っていない式です。

予測のためのソフトの使い方 がありますが、Eを加味した計算結果は出ません。 そのため、例えば、「入力値がある値で一定の場合に、標準偏差がどのくらいになるのか?」といった予測はできません。

そこで、Eを加味した計算をするには、Eの部分を考慮した 数理モデル としてシミュレーションします。

Eの作り方

Eは「誤差」なので、平均値が0の正規分布になっていると仮定する方法が手軽です。 ばらつくデータの作り方 を使って、平均値が0の正規分布になるデータをたくさん作り、それぞれをEに代入して、Yがどのような分布になるのかを見ます。

正規分布になるデータは、平均値を0と仮定するのは良いとしても、標準偏差をどうするのかが考えどころになります。 測定器の測定誤差等、実際に起きているばらつきを考慮して標準偏差は決めます。

計算のサンプル

このシミュレーションは、説明だけ読んでも、イメージがわきにくいと思いますので、 サンプルファイル も作りました。 このファイルを使うと、冒頭の2つの図のデータも作れます。

サンプルでは、Xは均等の刻みにしてあります。 実際のデータに近くするには、Xも乱数で作った方が良い事もあります。 つまり、XとEの両方が乱数で作られ、様々X(入力のばらつき)とE(出力のばらつき)の組み合わせから生み出されるYを調べることになります。 こうすると、入力のばらつきと、出力のばらつきの両方の影響を調べることができます。

ばらつきモデルの使い道

ばらつきモデルのシミュレーションは、式が複雑な時に、特に役に立ちます。

予測区間のシミュレーション

Yが複雑な計算式でできているものだと、 予測区間 も複雑になりますが、シミュレーションで計算した数字をグラフにすると、予測区間がどのような分布なのかを把握できます。

誤差のシミュレーション

誤差解析 では、Yの標準偏差はわかっていて、要因の標準偏差がどの程度なのかを推定したい事があります。

例えば、Xが2つある場合は、 それぞれのXについて、標準偏差を3通りずつ仮定してみて、 その標準偏差の組み合わせのそれぞれについて、Yの標準偏差をシミュレーションで求めてみます。 そうすれば、シミュレーションで求めたYの標準偏差と、実際の標準偏差の差が一番小さい値になる、Xの標準偏差の組み合わせではないかと、 推定できます。





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