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微分方程式モデル

微分方程式は、時間的な変化を表現するモデルとして使われます。

システムダイナミクス は、微分方程式を使った複雑なモデルによる シミュレーション を、簡単に試せるようにしています。

微分方程式を解析的に解く方法としては、 フーリエ変換とラプラス変換 があります。

微分方程式の数値計算

微分方程式を シミュレーション に使う時は、コンピュータは無限小の時間を扱えないので、 微分方程式のままではなく、実際には差分方程式を代わりに使います。

非常に小さな刻みの時間を扱います。 イメージ的には、1時間の推移のシミュレーションを、 1秒刻みで行うような感じです。

実際にやってみる時に問題になるのが、上記の例で言えば、 「0.1秒・1秒・10秒・1分の、どの刻みが良いのだろうか？」 という疑問です。

基本的には、刻みを細かくすれば計算精度は上がります。 しかし、ある程度細かくすれば、精度は変わらなくなります。 また、刻みを10分の1にすれば、 計算時間は10倍になることを覚悟しなければなりません。

さらに厄介なのが、 有効数字 の問題です。 刻みとして小さな数値を扱いたいのに、コンピュータにとっては小さ過ぎて、扱えない場合があります。 そのため、有効数字を考慮しつつ、刻みの幅を決めることになります。

参考文献

「自然現象から学ぶ微分方程式」 森真　著　共立出版　2016
ベクトル場で微分方程式を見る方法や、関数空間、など、微分方程式の見方や扱い方が、一通り解説されています。
系をハミルトンで書くと、ハミルトンの時間微分が一定な事で、保存量がある事を表せます。
微分の意味として、電場の変化（微分）が磁場を生む話もあります。
微分は形式的には、掛け算のように書きますが、これにもっと役割を持たせたのが作用素です。 作用素を使うと、見た目はシンプルな式になります。 また、「関数に作用素が作用したものの固有値が、観測される」と考える事ができます。

「方程式と自然」 数理科学編集部　サイエンス社　1993
自然界を表す方程式の本です。 方程式が数学的にはどのようなものかの話が中心です。 ひとつの章が逆問題 になっています。

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