差分方程式モデル

微分方程式モデルは、数学や物理学で、物事を表すモデルとしてよく使われています。

微分方程式モデルは、例えば上のような式です。上の式は、左がXの変化量を表し、右がその時のXの式を表しています。

左辺のdtは、無限小の意味なのですが、コンピュータでは無限小が扱えないです。そのため、微分方程式モデルはそのままでは、コンピュータで扱えないです。差分方程式モデルは、微分方程式モデルの代わりにコンピュータで使うモデルです。

微分方程式モデルから、差分方程式モデルへ

微分方程式モデルから差分方程式モデルを導いた時の、一番簡単な近似が上のようなものです。専門書には、もっと精確になる近似が紹介されています。

Xnというのは、n番目のXの値です。

この式の左辺は、単位時間当たりの、Xの変化量を表しています。単位時間の単位が、分母のΔtです。 Δtは、小さな数ですが、無限小ではないです。

差分方程式を上のように変形します。

Δtが単位時間で「1」ということなら、下記のようにも書けます。

すると、右辺はn番目のXで決まる量になり、左はn+1番目のXの値です。このようにすると、新しいXが次々と計算できます。

ランダムウォークモデルは、この方法の応用のひとつです。

ARモデルとその発展形のひとつに、ARIMAモデルがあります。

ARMAモデルでは、左辺がXn+1になるのに対して、ARIMAモデルでは、Zn+1というXの差分を考えます。 ARMAモデルでは、ある瞬間のXの値が右辺で決まっていると考えますが、ARIMAモデルでは、Xの変化量が右辺で決まっていると考えます。

ARIMAモデルは、Δtが1の差分方程式という風に考えることもできます。