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広義の数量化T類

数量化I類は、 数量化理論 の一種です。 オリジナルの数量化T類は、 Data1のタイプのデータを説明変数Xとして、 重回帰分析 で分析する方法です。

このページの広義の数量化I類は、 Data2のタイプのデータについても同じように分析することを想定しています。
数量化のデータ

数量化I類の例

一番シンプルな例からになります。

説明変数がひとつで、質的変数の場合

簡単な例として、説明変数がひとつしかなく、「Aさん」、「Bさん」という2つの名前が入った質的データだったとします。 このような場合に、ダミー変換をして、Aさんの時にX=1、Bさんの時にX=0にしたとすると、 数量化I類によって、例えば、
Y = X + 1.3
という式が得られます。 この式は、
Y = 2.3 ・・・Aさんの時
Y = 1.3 ・・・Bさんの時
 、という事と意味が同じです。

つまり、質的変数をダミー変数で扱うモデルは、Y切片の分だけずれた場合のモデルです。 言い換えれば、カテゴリ毎に 層別 してY切片を求めています。
数量化のデータ

説明変数が複数で量的変数と質的変数が混ざっている場合

説明変数に量的変数と質的変数が混ざっている場合に、質的変数についてはダミー変換をすれば、 重回帰分析をすることができますが、 質的変数が影響するのは、Y切片の部分です。

例えば、AさんとBさんで、Y切片分のずれを考慮するとモデルの当てはまりが良くなる場合には、 この分析は効果的です。 しかし、AさんとBさんの違いによって、式の傾きも変わる場合には、このモデルは良くありません。
数量化のデータ

式の傾きも変わるモデル

傾きが複数あるモデルは、データを加工すると作ることができます。

例として、説明変数に、量的変数と質的変数がひとつずつあるとします。 この量的変数と質的変数のダミー変数の積を作り、第3の変数にします。 ちなみに、この変数は「交互作用項」「係数ダミー」と呼ばれています。 上記のようにY切片をずらす時に使うダミー変数は、「定数項ダミー」と呼ばれています。
数量化のデータ

そして、量的変数、質的変数のダミー変数、第3の変数で、重回帰分析をします。 これが、傾きが複数あるモデルになります。

第3の変数が有意にモデルに影響している場合は、AさんとBさんで傾きが異なることを 検定 したことになります。 また、ダミー変数が有意にモデルに影響している場合は、AさんとBさんでY切片が異なることを検定したことになります。
交互作用項が不要な例 交互作用項が必要な例

なお、ダミー変数によって、カテゴリ毎に切片や傾きを変えるモデルは、 線形混合モデル と呼ばれています。

数量化I類のソフト

「数量化T類」という項目が入っているソフトはあまりありませんが、 数量化T類は、説明変数を工夫することで実現できるので、回帰分析が入っているソフトがあればできます。

R-EDA1 には、 線形混合モデル の項目があるので、この機能を使って、数量化T類ができます。



参考文献

データ分析をマスターする12のレッスン」 畑農鋭矢・水落正明 著 有斐閣 2017
計量経済学の分野での 仮説の検証(実証分析) のためのデータ分析を扱った本です。
ダミー変数を使った 重回帰分析 の話で、ひとつの章になっています。


図解でわかる回帰分析」 涌井良幸・涌井貞美 著 日本実業出版社 2002
回帰分析を図解でわかりやすく説明しています。
モデルはシンプルな方が良いので、ダミー変数を入れても、決定係数が変わらない場合は、入れない方を採用すべき、としています。


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