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カーネル主成分MT法

MT法主成分MT法 は、正規分布を前提にした理論なので、データに合わない事があります。

主成分分析には、非正規分布のための理論として、 カーネル法 を使うカーネル主成分分析があります。

そこで、カーネル主成分分析をMT法の前処理にした「カーネル主成分分析」という方法も、理論としては作れます。

カーネル主成分分析には、 One-Class SVM の長所を持ったような理論として、使える可能性があります。 ただ、この方法には One-Class SVM と同じようにカーネル関数の調整がいるので、同じ難しさがあります。

カーネル主成分MT法の特徴

カーネル主成分分析を使うと、下図のようなグラフになることが多いようです。

単位空間(グラフでは「0」のラベル)のマハラノビス距離がほぼ1になります。 MT法では、マハラノビス距離を次元数で割った値を、「マハラノビス距離」と呼びますので、平均が1になるの想定通りです。 平均が1になるのは良いのですが、ばらつきが非常に小さいです。

カーネル主成分MT法のもうひとつの特徴として、カーネルの選び方によっては、 信号空間(グラフでは「1」のラベル)のマハラノビス距離が、すべてのサンプルで、1よりも小さくなります。 パラメタの選び方によっては、すべてほぼ0になることもあります。 普通のMT法をすると、1よりも大きな値になることがほとんどなのですが、データの表れ方が逆になっています。

筆者自身はカーネル主成分分析の数理をきちんと確認できていないのですが、 起きていることから考えると、rbfdotをカーネルにすると、学習用のデータを多次元の超球面の球面上に配置するようにモデルが作られるようです。 すべて球面上なので、データの中心(平均値)からの距離が、皆同じで1になるようです。

そのようなモデルに対して、学習データとは異なる値のデータを入れた場合、それらは超球面の内側に計算されるようです。 うまくモデルを作ると、学習データから外れているデータは、すべて距離が0の原点に配置されるような計算になるようです。

マハラノビス距離が1に近ければ学習データとほぼ同じで、少しでも異なると、0になるという性質は、場合によっては便利な性質かもしれません。
カーネル主成分MT法

ソフト

R

Rの実施例は、 Rによる異常の定量化の分析 のページにあります。

R-EDA1の場合

R-EDA1 でも、カーネル主成分MT法はできるようになっています。 カーネル関数は4つ選べます。



参考文献

カーネル主成分分析は、下記の金明哲先生のページを参考にさせていただきました。
http://mjin.doshisha.ac.jp/R/Chap_31/31.html



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