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正準相関分析

正準相関分析は、 多対多の分析 の一種ですが、 A-A型 や A-B型 とは違います。

A-A型 は、Aの中の要素同士の関係を調べる方法です。 要素として変数を考えれば、 変数の類似度の分析 に使えますし、 サンプルを考えれば、 サンプルの類似度の分析 として使えます。

A-B型 は、Aの要素とBの要素の関係を調べます。

正準相関分析は、Aの要素とBの要素の関係を調べる方法ですが、AもBも変数なので、 変数の類似度の分析 として使う方法です。

正準相関分析がすること

重回帰分析 は、説明変数の 線形和 と、目的変数の相関が最大になるように、線形和の係数を求めます。

正準相関分析では、目的変数も複数あって、それらの線形和を想定します。 そうして、目的変数の線形和と、説明変数の線形和の相関が最大になるように、これらの線形和の係数を求めます。

正準相関分析の使い道

正準相関分析は、 重回帰分析 と 主成分分析 の両方の延長にあるような方法です。

重回帰分析 の式を作ると、 予測やシミュレーション に使うことができます。 また、目的変数とそれぞれの説明変数の関係の強さもわかります。 一方、正準相関分析のこういう使い方は、あまりないようです。

主成分分析 に似た使い方としては、 正準相関分析で高次元を２次元に圧縮 があります。

正準相関分析とコレスポンデンス分析の関係

質的変数を ダミー変換 すると、ひとつの変数が複数の変数に分かれます。 A、Bという質的変数があった時に、これをダミー変換すると、上記のAB-C型になります。 この形になったデータをAとBのそれぞれのグループに分かれた正準相関分析と考えると、 コレスポンデンス分析（対応分析） と同じになります。

正準相関分析にはグループが３つ以上の場合のものもあり、「一般化正準相関分析」と呼ばれることがあります。 グループが３つ以上の正準相関分析は、質的変数が３つ以上ある「多重対応分析」と呼ばれる方法になります。

グループが２つの正準相関分析は、「原因系と結果系」のように分けて使えます。 筆者は、グループが３つ以上の正準相関分析があることは知っていたのですが、 ３つの時はそういう使い方にならないので。現実の問題での使い道はあまりなように思っていました。

一方で、質的変数が３つ以上ということは、よくあることです。 そのため、その方向性だと、グループが３つ以上の正準相関分析も使い道があります。

ソフトウェア

R

Rによる正準相関分析のページがあります。

参考文献

「図解でわかる多変量解析」 涌井良幸・涌井貞美 著　日本実業出版社　2001
正準相関分析が紹介されている数少ない本です。
重回帰分析、 主成分分析、 因子分析、 正準相関分析、 判別分析 について、式の意味が絵も豊富に使いながら、丁寧に解説されています。

「多変量データ解析法　理論と応用」 柳井晴夫 著　朝倉書店　1994
正準相関分析という方法自体の歴史が解説されています。 1936年に始まって、1980年代でも発展が続いています。
正準相関分析とコレスポンデンス分析の関係が説明されています。

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